Ateliers de l'année en cours

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On considère une balance formée de 3 plateaux, notés B1, B2 et B3, comme représenté à la Fig.1. Supposons que nous ayons n1 masses de 0.25kg, n2 masses de 0.5kg et n3 masses de 1 kg où n1, n2 et n3 sont des entiers naturels. Questions Étape 1 Pour n2 = 0 et n1 = 0, peut-on disposer les n1 masses de sorte à assurer l’équilibre parfait ? Étape 2 (a) Pour n1, n2 et n3 génériques, quelles sont les conditions pour que les trois plateaux soient en équilibre ? (b) Quels sont les triplets (n1, n2, n3) pour lesquels les trois plateaux sont en équilibre et ne contiennent, chacun, qu’un seul type de masses? Étape 3 Pour n1, n2 et n3 génériques, quelles sont les conditions pour que le plateau B1 soit en équilibre avec les deux autres plateaux, B2 et B3 sans toutefois imposer que ces derniers soient en équilibre ?

Élèves participants : Noah, Vic, Vincent

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Des basketteurs sont disposés de manière régulière en cercle. Chaque basketteur tient dans ses mains une balle. Lorsque le coup de sifflet résonne, ils lancent simultanément leur balle à l’un des autres joueurs. Les basketteurs sont très doués et lancent tous la balle avec la même vitesse (supposée constante au cours du temps) et à la même hauteur (supposée également constante au cours du temps) par rapport au sol. De combien de manières peuvent-ils lancer les balles de sorte que, après le lancer, chaque joueur ait à nouveau une (et une seule) balle dans sa main? Questions 1. Considérez dans un premier temps le cas de 2, 3 et 4 joueurs. 2. Généraliser ensuite au cas de n ∈ N joueurs.

Élèves participants : Pierre-Louis, Valentin

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Un pavage d’un domaine par des dominos est une disposition des dominos recouvrant l’entièreté du domaine sans que les dominos ne se chevauchent. Nous considérons des dominos de dimensions 1 × 2. Questions Étape 1 De combien de manières distinctes peut-on paver un rectangle de dimensions 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4 et 3 × 3 ? Étape 2 (a) En procédant par récurrence, montrer qu’il sera toujours possible de paver un rectangle de dimensions nx2, où n est un entier naturel non nul. (b) Soit Zn le nombre de pavages distincts d’un rectangle de dimensions nx2. Montrer que Zn satisfaît une relation de récurrence linéaire du type Zn = a Zn-1 + b Zn-2 où a et b sont des constantes à déterminer. (c) Sur base de cette relation de récurrence, déduisez-en les valeurs prises par Z3, Z4 et Z5. (d) Résoudre cette relation de récurrence pour obtenir une formule explicite pour Zn. (e) Montrer que lim quand n→+∞ de (log Zn)/n est égale à f,t un nombre réel positif. (f) Soit Zsym le nombre de pavages symétriques sous rotation de 180 degrés. Que vaut Zn^(Sym) ? Étape 3 Nous considérons désormais des rectangles de dimensions 3xn, où n est un naturel non nul. (a) Pour quelles valeurs de n peut-on paver ce domaine? Justifier votre réponse. (b) Si le domaine est pavable, quel est le nombre de configurations (distinctes) ?

Élèves participants : Adèle, Aliocha, Gabriel, Shyrel

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Soit Vn l’ensemble des tableaux de nombres formés de n colonnes et de n lignes, où n est un nombre entier naturel non nul, tels que — les entrées vaillent 0, -1 ou +1 ; — la somme des entrées de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1 ; — les entrées +1 et -1 alternent en chaque ligne et chaque colonne. Questions Étape 1 Déterminer tous les éléments de V1, V2 et V3. Étape 2 Pour n général, montrer que les premières et dernières lignes et colonnes de chaque élément de Vn ne peut pas contenir d’entrée -1. (a) Montrer que pour tout n entier naturel plus grand ou égal à 2, | Vn| >= |Vn-1| + | Vn-2| où |Vn| désigne la cardinalité de l’ensemble |Vn|, c’est-à-dire le nombre d’éléments de cet ensemble. (b) Pour n général, combien y a-t-il d’éléments de Vn qui qui ne contiennent aucune entrée négative -1 ? Comment pouvez-vous interpréter ces éléments ? (c) Quel est le nombre maximal d’entrées négatives que peut contenir un élément de Vn ?

Élèves participants : Arthur, Francois, Timour, Yanis

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On considère une grille carrée de dimension nxn, formée de n² cases. Un certain nombre de murs sont disposés entre les cases. Un robot se trouve initialement sur une des cases. Le robot peut se déplacer horizontalement et verticalement et s’arrête si et seulement si il rencontre un mur. Questions Étape 1 (a) Pour une grille carrée de dimensions 2x2, quel est le nombre minimal de murs à disposer pour que le robot puisse atteindre toutes les cases, indépendamment de sa position initiale ? Nous supposerons que le pourtour du domaine agit comme un mur. Et pour une grille carrée de dimensions 3 × 3 ? (b) Qu’advient-il si les bords du domaine ne sont pas des murs, i.e. en présence de conditions aux bords périodiques ? Étape 2 Nous considérons dès à présent des conditions aux bords périodiques (a) Pour une grille carrée de dimensions nxn, comment disposer les murs pour que le robot puisse atteindre toutes les cases du plateau, indépendamment de sa position initiale ? Justifiez votre réponse. (b) Cette configuration vous semble-t-elle optimale, ou pouvez-vous en trouver une autre qui requiert un nombre moins élevé de murs? Étape 3 Nous supposons à présent que deux robots se déplacent sur la grille. Chaque case peut être occupée au maximum par un robot et chaque robot agit comme un mur. (a) Quel est le nombre minimal de murs supplémentaires à disposer pour que les deux robots puissent atteindre toutes les cases d’une grille carrée de dimensions 2 × 2 et 3 × 3 ? Considérer séparément le cas de conditions aux bords fixes et périodiques. (b) Et dans le cas d’une grille carrée de dimensions n × n ?

Élèves participants : Émelyne, Jean, Nathan, Theo