MATh.en.JEANS

Athénée Royal Liège 1 (Liège)

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Des colis numérotés arrivent à la poste, ordonnés aléatoirement (voir Figure 1). À la fin de la journée, les colis doivent ressortir triés (dans l’ordre croissant), comme représenté à la Figure 2. La zone de tri possède une voie principale (celle du dessus) et une dérivation (en-dessous). Tous les colis peuvent transiter par les deux voies. Cependant, un colis ne peut jamais faire marche arrière (i.e., lorsqu’il emprunte ou sort d’une voie, il doit obligatoirement se diriger vers la sortie). Est-il possible de ressortir tous les colis ordonnés, à partir de n’importe quelle configuration de départ ?

Élèves participants : Ariane, Célia, Emeline, Haiyang

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Le roi Galton s’inquiète pour sa descendance et la perpétuation de son nom. En effet, depuis des siècles et des siècles, la tradition familiale veut que la famille ait exactement 3 enfants (que ce soient des filles ou des garçons, peu importe) et que, le jour de la naissance d’un enfant, la mère lance une pièce de monnaie : si elle tombe sur pile, l’enfant ira au monastère (et ne pourra donc pas se marier), si elle tombe sur face, il fondera une famille pour tenter de perpétuer le nom. Sachant que dans ce royaume, une femme prend toujours le nom de son mari, le roi a-t-il des chances de voir son nom être perpétué indéfiniment ? Verra-t-il rapidement s’éteindre sa lignée ?

Élèves participants : Alessio, Haiyin

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Un nageur part du bord de la plage et parcourt 500m en ligne droite dans la direction de son choix. Arrivé en plein brouillard, il choisit une nouvelle direction au hasard et parcourt au maximum 500 m. Quelle est la probabilité qu’il rejoigne la plage ?

Élèves participants : Alejandro, Alexandra, Loïc, Lucien

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Paul et sa compagne invitent quatre autres couples à diner chez eux, pour un total de 10 personnes à table. Le temps que tout le monde soit arrivé, un certain nombre de poignées de mains sont échangées, en respectant deux règles évidentes : personne ne se sert la main et personne ne sert la main de son compagnon. Une fois le diner terminé, Paul demande à chacune des personnes présentes à table, sa femme comprise, combien de poignées de mains elle a échangées en arrivant. De manière surprenante, il obtient neuf réponses différentes. Combien de mains la femme de Paul a-t-elle serrée(s) ?

Élèves participants : Anh, Charlotte, Florent, Joël, Thomas

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Voici les règles du jeu de la tablette de chocolat. Deux joueurs A et B choisissent à tour de rôle un carré de la tablette à retirer avec la règle suivante : si ils retirent un carré, il faut retirer tous les carrés à droite et en bas de celui choisi. La partie se termine quand un joueur est forcé de prendre le carré en haut à gauche, auquel cas ce dernier a perdu. Si la tablette de chocolat est de forme carrée, existe-t-il une stratégie gagnante pour le joueur A (celui qui commence) ou pour le joueur B ?

Élèves participants : François, Maxime, Qi, Zoé

Collège Don Bosco (Woluwe-Saint-Lambert)

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On possède une collection de N masses de 1 à N kg, toutes différentes. Le but est d'arriver à choisir 2 masses de telle sorte que leur masse totale soit égale à la moyenne des masses restantes. Peut-on toujours y arriver ? Sinon à quelle condition sur N ?

Élèves participants : Benjamin, Michaël, Roy, Sébastien, Thibault

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Jerry est au centre d'un cercle de 100m de rayon. Chaque minute, il annonce la direction dans laquelle il va se déplacer. Tom peut choisir soit de ne rien changer à la direction choisie par Jerry, soit de l'inverser. Puis Jerry se déplace d'un mètre dans la direction choisie. Est-ce que Jerry a une stratégie qui lui permet de sortir à coup sûr du cercle ? Si oui, en combien d'étapes maximum pourra-t-il y arriver ?

Élèves participants : Lila, Milana, Rebecca, Rima, Tatiana

Collège du Christ-Roi (Ottignies)

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Élèves participants : Charline, Maélà, Matthieu, Romain

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Élèves participants : Alicia, Marielle

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Élèves participants :

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Élèves participants : Clément, Gil, Julien, Maxime, Victor

Collège du Sartay (Embourg)

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Etudier les critères sur les nombres donnant un palyndrôme après une série d'opérations faisant intervenir les nombres miroirs.

Élèves participants : Adrien, Laura, Rémy, Thomas

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Compter le nombres de configurations possible de formes de n blocs.

Élèves participants : Aurélien, Bastien, Camille, Eva, Romain

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Etudier les configurations de nouage de corde (fermée) autour de plusieurs clous pour lesquelles la corde se délie complètement quand on enlève un clou.

Élèves participants : Charlotte, Eliott, Maxime, Romane, Sophie

Collège Saint-Benoît Saint-Servais (Liège)

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Élèves participants : Alix, Chloé, Clothilde, Emeline, Téa

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Élèves participants : Endymion, Ethan, Jean, Thomas

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Élèves participants : Claire, Gilles, Mathias

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Élèves participants : Alexandre, Nathan, Pauline

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Élèves participants : Adrien, Arnaud, Marco, Marie

Collège Saint-Louis (Liège)

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Un espion doit surveiller un criminel. Pour cela, il décide d'installer discrètement des détectuers de mouvement dans la maison du suspect....

Élèves participants : Aourora, Aurore, Clara, Geuben

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Élèves participants : Alexia, Manon, Théo, Thomas

Collège Sainte-Véronique (Liège)

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Une table carrée peut tourner sur elle-même. Aux quatres coins se trouvent des trous qui contiennent chacun un verre, soit à l’endroit, soit à l’envers. Il est impossible de voir les verres, mais on peut sentir dans quel sens ils sont en plongeant la main dans les trous. Un mouvement est défini comme suit : — Faire tourner la table. — Quand elle s’arrête, placer les mains dans 2 trous quelconques et retourner aucun, un seul ou les deux verres. Existe-t-il une stratégie pour obtenir les 4 verres dans le même sens ?

Élèves participants : Nicolas, Sacha, Soline

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73 a une propriété particulière : — Prenez-en un multiple quelconque, par exemple 73 × 189 = 13797 — Séparez-le en 2 après le chiffre des dizaines : 137 et 97 — Effectuez la somme des carrés des deux nombres : 1372 + 972 = 28178 — Le nombre obtenu est à nouveau multiple de 73 : 28178 = 73 × 386. Peut-on le démontrer ? Existe-t-il d’autres nombres qui ont cette propriété ?

Élèves participants : David, Elias, William

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On a chessboard (a lattice of 8x8 squares) place a cube (whose side is equal to the side of the squares of the chessboard) in the lower left corner. The cube faces are marked (say Up, Low, Left, Right, Front, Back) and the Up face is up and so on. One can move the cube from a square to an adjacent square by tripping it over one of the bottom sides (this side is fixed and the cube is rotated 90 degrees around this side such that it lands in an adjacent square). Can you find a sequence of trips that take the cube from the lower left corner to the lower right corner and at the arrival it is in the same position as in the start (the Up face is up, Low face is low etc.) Generalizations: What about chessboards that have other dimensions than 8x8? What about other possible destinations on the chessboard or different initial positions?

Sujet jumelé avec Colegiul National Iasi.

Élèves participants : Bastien, Eloïse, Valentin

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Vous connaissez les dérivées des fonctions... On peut également dériver les nombres. On se donne deux règles qui permettent de dériver les nombres naturels: - la dérivée de tout nombre premier vaut 1 - la dérivée d'un produit p*q est (p*q)' = p' * q + p * q' Que peut-on dériver avec ces règles? En particulier, que vaut la dérivée de 1? Que vaut la dérivée des entiers négatifs? des rationnels? des irrationnels? etc.

Sujet jumelé avec Colegiul National Iasi.

Élèves participants : Simon, Vincent

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Deux processus semblent décrire le même objet limite. Quelles sont ses propriétés ? Par exemple, possède-t-il une aire ? A-t-il une dimension ?

Élèves participants : Adrien, Bastien, Mathis

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Observez le calcul suivant : 16/64=1-6-/-6-4=1/4 Quels sont les fractions pour lesquelles ce calcul est correct ?

Sujet jumelé avec Colegiul National Iasi.

Élèves participants : Florentin, Lisa, Mana, Whitney

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Observez le calcul suivant : 16/64=1-6-/-6-4=1/4 Quels sont les fractions pour lesquelles ce calcul est correct ?

Élèves participants : Anais, Petros, Ruben

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Les Grecs anciens disaient d’un nombre qu’il est constructible s’il était la longueur d’un segment construit à l’aide d’une règle non-graduée et d’un compas. Quels sont ces nombres ? Quelles sont les opérations qui préservent le fait d’être constructible ?

Élèves participants : Guillaume, Jonas, Lydia, Thomas

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Let ABCD be a rectangle and M and N two fixed points in its interior. Find the point P in the rectangle ABCD with the property that the sum PM+PN is as large as possible. Is it true that P is always one of the corners of the rectangle? Generalizations: What if we replace ABCD by another shape (a circle, a triangle, ...)? What if there are more fixed points (e.g. A, B, C) and we want to maximize the sum PA+PB+PC?

Sujet jumelé avec Colegiul National Iasi.

Élèves participants : Gabriel, Romy, Thomas, Tom

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Un nombre est palindromique s’il peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. 12321 est un exemple de nombre palindromique. L’addition palindromique d’un nombre x est la somme de x et de son miroir. Par exemple, l’addition palindromique de 17 est le nombre 17 + 71 = 88. — Est-il vrai que l’addition palindromique de tout nombre est un nombre palindromique ? — Si ce n’est pas le cas, arrive-t-on toujours à un nombre palindromique en itérant ce processus et, si oui, en combien d’étapes ?

Sujet jumelé avec Colegiul National Iasi.

Élèves participants : Aloïs, Florent

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Un nombre est palindromique s’il peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche. 12321 est un exemple de nombre palindromique. L’addition palindromique d’un nombre x est la somme de x et de son miroir. Par exemple, l’addition palindromique de 17 est le nombre 17 + 71 = 88. — Est-il vrai que l’addition palindromique de tout nombre est un nombre palindromique ? — Si ce n’est pas le cas, arrive-t-on toujours à un nombre palindromique en itérant ce processus et, si oui, en combien d’étapes ?

Élèves participants : Eve, Nolan, Raphaël, Sacha, Simon, Stephan

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Un fermier achète trois sacs de farine pour ses animaux. Pour l’embêter, le vendeur ne lui fournit pas le poids de chacun des sacs, mais uniquement la somme de chaque paire de sacs. Par exemple, si les sacs A, B et C font respectivement 31, 27 et 61 kilos, le vendeur lui dit uniquement qu’une somme fait 58, une autre somme fait 92 et la troisième somme fait 88. — Le fermier peut-il retrouver le poids des sacs ? — Qu’en est-il s’il veut acheter 2, 4, 5, 6, . . . sacs et que le vendeur s’amuse à faire la même chose ?

Élèves participants : Charles, Michel, Oscar

Collège St Benoît de Maredsous (Denée)

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Supérieur

Résumé
Dans les grandes plaines, les cow-boys et les indiens se retrouvent à chasser les mêmes lapins. Si deux indiens chassent la même proie, ils se la partagent équitablement. Si deux cow-boys chassent la même proie, un des deux la remporte avec une chance de un sur deux. Si un cow-boy et un indien chassent la même proie, c’est le cow-boy qui repart avec leur prise. En fixant un certain nombre de cow-boys et un certain nombre d’indiens et les faisant tous se rencontrer ; quelle population a eu le plus à manger ?

Élèves participants : Marie, Victor, Yanthe

Niveau
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Résumé
Les Shadoks n’ont que quatre mots et ne peuvent donc compter que jusque trois. Développer une arithmétique shadok.

Élèves participants : Damien, Henri, Victor

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Supérieur

Résumé
Les sudokus ont envahi les pages de jeux des journaux. Combien de grilles complétées différentes existe-t-il ?

Élèves participants : Basile, Loïc, Louis-François, Simon

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Supérieur

Résumé
Le Triomino est un domino aux tuiles triangulaires. La position des nombres sur ces triangles à donc de l’importance. Combien y a-t-il pour des chiffres allant de 0 à 5 ? Et si l’on va jusque n ? Et si les tuiles étaient carrées ?

Élèves participants : Eléonore, Isaure, Mateo

De l'Autre Côté de l'École (Auderghem)

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Élèves participants :

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Élèves participants :

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Élèves participants :

KA Etterbeek (Bruxelles)

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Armée de la mort (Humbert, Amélie, Théo en Elise) Des soldats sont disposés en cercle. On en tue un sur deux. Quel est le dernier soldat à se faire tuer? Et si on en tue un sur trois?

Élèves participants : Théo

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Deux joueurs sont assis du même coté d’un échiquier, sur lequel est placé une dame. Ils jouent l’un après l’autre, en déplaçant la dame vers le sud, ouest ou sud-ouest. Celui qui amène la dame au coin inférieur gauche remporte le jeu. Le premier joueur décide qui commence. (a) Est-ce que le jeu dépend de la position initiale de la dame ? (b) Y a-t-il une stratégie gagnante pour le premier joueur ? (c) Et si l’échiquier était plus grand ? De taille infinie ?

Élèves participants : Grégoire

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Élèves participants :

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Vous avez l’intention de faire le tour du monde en avion. Malheureusement les avions dont vous disposez ont un réservoir limité ne permettant que de parcourir la moitié de la distance. Vous disposez d’une flotte illimitée d’avions identiques et vos avions sont équipés pour le ravitaillement en plein air. Combien d’avions au minimum aurez-vous besoin pour faire le tour du monde ?

Élèves participants : Fédérico

Lycée classique de Diekirch (Diekirch)

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Élèves participants : Catherine, Mara, Naomi, Tom, Tristan

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Élèves participants : Nic, Sam

Lycée Français Jean Monnet (Bruxelles)

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Dans une version simplifiée du jeu télévisé, supposons avoir cent boites contenant une somme de 1, 2, 3 etc jusque 100 euros. Les boites sont mélangées. A chaque manche, vous ouvrez une boite. A chaque instant, vous avez deux options: (a) vous encaissez l'argent repris dans la caisse et le jeu s'arrête; (b) vous jetez la boite que vous avez en main et vous en choisissez une nouvelle parmi celles qui restent. Vous avez le droit de tirer dix boites. Le problème est de déterminer la meilleure stratégie, c'est-à-dire celle qui vous permet d'espérer gagner le plus possible.

Élèves participants : Elise, Théodore

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Dans une version simplifiée du jeu télévisé, supposons avoir cent boites contenant une somme de 1, 2, 3 etc jusque 100 euros. Les boites sont mélangées. A chaque manche, vous ouvrez une boite. A chaque instant, vous avez deux options: (a) vous encaissez l'argent repris dans la caisse et le jeu s'arrête; (b) vous jetez la boite que vous avez en main et vous en choisissez une nouvelle parmi celles qui restent. Vous avez le droit de tirer dix boites. Le problème est de déterminer la meilleure stratégie, c'est-à-dire celle qui vous permet d'espérer gagner le plus possible.

Élèves participants : lucas, Mattéo, Matthieu

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Le jeu Dobble vendu dans le commerce est un jeu de 55 cartes rondes qui comportent chacune 8 symboles différents. Si l'on choisit deux cartes quelconques de ce jeu elles ont systématiquement un et un seul symbole en commun. Le jeu de Dobble consiste en gros à trouver le plus rapidement le symbole commun à deux cartes données. Comment construire un tel jeu ? Peut-on construire sur cette base un jeu dont les cartes auraient plus de propriétés que le jeu de Dobble "classique" pour que ce jeu devienne plus intéressant ?

Élèves participants : Anne-Aymone, Mathilde, Victoria, Zoé

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Le jeu Dobble vendu dans le commerce est un jeu de 55 cartes rondes qui comportent chacune 8 symboles différents. Si l'on choisit deux cartes quelconques de ce jeu elles ont systématiquement un et un seul symbole en commun. Le jeu de Dobble consiste en gros à trouver le plus rapidement le symbole commun à deux cartes données. Comment construire un tel jeu ? Peut-on construire sur cette base un jeu dont les cartes auraient plus de propriétés que le jeu de Dobble "classique" pour que ce jeu devienne plus intéressant ?

Élèves participants : Moana, Nour

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Le jeu Dobble vendu dans le commerce est un jeu de 55 cartes rondes qui comportent chacune 8 symboles différents. Si l'on choisit deux cartes quelconques de ce jeu elles ont systématiquement un et un seul symbole en commun. Le jeu de Dobble consiste en gros à trouver le plus rapidement le symbole commun à deux cartes données. Comment construire un tel jeu ? Peut-on construire sur cette base un jeu dont les cartes auraient plus de propriétés que le jeu de Dobble "classique" pour que ce jeu devienne plus intéressant ?

Élèves participants : Hugo, Théodore

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On accroche un cadre avec deux clous fixés au mur. Trouver le moyen d'enrouler le fil du cadre autour des clous, pour que dès que l'un des clous tombe, le cadre tombe. Même question avec 3, 4, 5,... clous.

Élèves participants : Ali, Georges, Maximilian, Rodolphe

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Des soldats sont disposées en cercle. On en tue un sur deux. Quel est le dernier soldat à se faire tuer ? Et si on en tue un sur trois ?

Élèves participants : Anna, Cécile

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A(lexandre) et B(ernadette) jouent aux des. A possède A pièces de 1 euro tandis que B en possède B. Ils jouent une succession de parties de dès indépendantes, A pariant que l'issue sera paire et B pariant qu'elle sera impaire. Celui qui perd doit donner une pièce a l'autre et on arrête de jouer quand un des deux est ruiné. Quelle est la probabilité que A gagne? Combien de parties en moyenne faut-il jouer avant la fin du jeu?

Élèves participants : Emanuele, Pierre

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Le restaurateur vend des croustillons par boîtes de 4 ou de 9. Peut- on commander n'importe quel nombre de croustillons ? Trouver le seuil minimal de croustillons qu'on peut obtenir. Comment faire si on a trois boîtes ?

Élèves participants : Eliott, Matthieu, William

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Inférieur

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Le restaurateur vend des croustillons par boîtes de 4 ou de 9. Peut- on commander n'importe quel nombre de croustillons ? Trouver le seuil minimal de croustillons qu'on peut obtenir. Comment faire si on a trois boîtes ?

Élèves participants : Alexandre, Barnabé

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Le restaurateur vend des croustillons par boîtes de 4 ou de 9. Peut- on commander n'importe quel nombre de croustillons ? Trouver le seuil minimal de croustillons qu'on peut obtenir. Comment faire si on a trois boîtes ?

Élèves participants : Fumi, Lou-Anne, Louise, Valentine

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Vous avez l'intention de faire le tour du monde en avion. Malheureusement les avions dont vous disposez ont un réservoir limité ne permettant que de parcourir la moitié de la distance. Vous disposez d'une flotte illimitée d'avions identiques et vos avions sont équipés pour le ravitaillement en plein air. Combien d'avions au minimum aurez-vous besoin pour faire le tour du monde?

Élèves participants : Antonio, Jan

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Vous avez l'intention de faire le tour du monde en avion. Malheureusement les avions dont vous disposez ont un réservoir limité ne permettant que de parcourir la moitié de la distance. Vous disposez d'une flotte illimitée d'avions identiques et vos avions sont équipés pour le ravitaillement en plein air. Combien d'avions au minimum aurez-vous besoin pour faire le tour du monde?

Élèves participants : Antoine, Antoine, Camille, Pierre

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Résumé
Vous avez l'intention de faire le tour du monde en avion. Malheureusement les avions dont vous disposez ont un réservoir limité ne permettant que de parcourir la moitié de la distance. Vous disposez d'une flotte illimitée d'avions identiques et vos avions sont équipés pour le ravitaillement en plein air. Combien d'avions au minimum aurez-vous besoin pour faire le tour du monde?

Élèves participants : Ambroise, Devon

Lycée Michel Rodange Luxembourg (Luxembourg)

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N cowboys sont placés sur un cercle. A tour de rôle, les cowboys tirent sur leur voisin gauche. Quel sera le cowboy non-éliminé ?

Élèves participants : Fynn, Loris, Luca, Sara

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Supérieur

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Le joueur 1 choisit un nombre pair entre 1 et 100. A tour de rôle, chaque joueur doit choisir un nombre entre 1et 100 qui est soit un diviseur soit un multiple du nombre choisi précédemment par son adversaire. Chaque nombre ne peut être choisi qu’une seule fois. Le joueur qui ne trouve plus de multiple ou de diviseur du nombre précédemment choisi perd la partie. Existe-t-il une stratégie gagnante à ce jeu ?

Élèves participants : Elisa, Elly, Karina, Lianna

Lycée Saint-Jacques (Liège)

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Un nombre n est dit heureux s'il existe deux nombres entiers strictement positifs a et b tels que a+b=n et a.b est divisible par n. Tout nombre non heureux et dit malheureux. Quel nombre est heureux? Y-a-til beaucoup de nombres heureux?

Élèves participants : Souleyman, Vlad

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Supérieur

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Un directeur d'école possède 300 m de grillage et trois piquets. Comment doit-il placer ses piquets pour que les enfants aient le plus grand espace possible pour jouer?

Élèves participants : Andreas, Julien, Louis

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Un arbre mathématique est un graphe constitué de sommets et d'arêtes, sans cycle et de sorte qu'on puisse toujours trouver un chemin entre deux sommets. On peut choisir d'habiller les arbres: on numérote les sommets et les arrêtes. Un arbre à n arêtes est dit bien habillé si les arêtes sont numérotées de 1 à n sans répétition, les sommets numérotés de 0 à n sans répétition, et si le numéro de chaque arête est égale à la valeur absolue de la différence des numéros des sommets qu'elle relie. Peut-on bien habiller n'importe quel arbre?

Élèves participants : Charlotte, Juline, Lucie, Romane, Urbani

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Supérieur

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Le solitaire est un casse-tête dont le but est d'enlever toutes les billes en respectant la règle suivante: si l'on effectue un saut au-dessus d'une bille on peut l'enlever. Comment résoudre un solitaire?

Élèves participants : Alicia, Binta, Carla-Marie, Emma, Fantine, Louise

Nordstad Lycée (Diekirch)

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Élèves participants : Alexis, Cédric, Enzo, Vandilson

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Élèves participants : Alessandro, Aymen, Nabil

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Résumé

Élèves participants : Clémence, Killian, Léonard

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Élèves participants : Jamie, Jil, Max

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Inférieur

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Élèves participants : Chloé, Lana, Narges, Yousra