Ateliers de l'année en cours

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Résumé
Vous devez affronter un maître du temps de Fort Boyard. Le jeu est le suivant. On dispose d’une grille de N cases alignées numérotées de 1 à N. Les règles sont les suivantes. ▶ Le premier joueur coche une des cases de son choix. ▶ Ensuite, tour à tour, chaque joueur doit cocher une case dont le numéro est un multiple ou un diviseur de la dernière case cochée. ▶ Le premier joueur à ne plus pouvoir jouer a perdu. Existe-t-il une stratégie pour gagner? En quoi dépend-elle de la valeur de N ? Peut-on ajouter une règle pour rendre le jeu plus équitable?

Élèves participants : Corentin, Elouan, Vicky

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Un carré antimagique n'est constitué que de 0, 1 et -1, mais doit avoir toutes ses sommes de lignes et colonnes différentes. Peut-on trouver des carrés antimagiques de toutes tailles ?

Élèves participants : Manuel, Nathaniel, Samuel, Yasmine

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On trace un chemin sur une grille infinie selon une suite d’instructions : ▶ G : tourner à gauche ▶ C : continuer tout droit ▶ D : tourner à droite La suite d’instructions GCDDGDC donne le chemin. On s’intéresse à deux suites instructions données par des règles de remplacement. Règle 1 : f (G) = GD, f (D) = C, f (C) = GD. On a par exemple : f (GGCD) = f (G)f (G)f (C)f (D) = GDGDGDC En itérant cette règle à partir de G, on obtient la suite d’instructions G → GD → GDC → GDCGD → GDCGDGDC → · · · Que pouvez-vous constater? Pouvez-vous imaginer le dessin limite? Règle 2 : on n’utilise plus que G et D. Étant donnée une suite finie d’instructions, la suite d’instructions suivante s’obtient en ▶ recopiant la suite initiale ▶ écrire G ▶ écrire la suite initiale à l’envers et en remplaçant G par D et vice-versa. Partant de G, les premières itérations donnent G → GGD 7→ GGDGGDD → GGDGGDDGGGDDGDD → · · · Que pouvez-vous constater? Pouvez-vous imaginer le dessin limite?

Élèves participants : Aicha, Jellisa-Tara, Romane

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Deux carreleurs s’affrontent sur dans une pièce carrée de dimension n × n. La pièce est quadrillée en n2 cases. ▶ Tour à tour, ils placent un carrelage de 2 × 1 sur deux cases adjacentes. ▶ Le premier carreleur à ne plus pouvoir placer de carrelage a perdu. Pouvez-vous trouver une stratégie pour gagner?

Élèves participants : Cyprien, Lucas, Max, Tom

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Le "morpion" est un jeu de réflexion très simple qui se pratique entre deux joueurs. Placés devant une grille comportant neuf cases disposées sur trois lignes et trois colonnes, les joueurs remplissent alternativement l'une des cases vides de la grille en y apposant le symbole qui leur est attribué , soit un "X" soit un "O". Le gagnant du jeu est celui qui parvient le premier à aligner trois symboles indentiques, horizontalement, verticalement ou en diagonale. -Combien de parties de "morpion" existe-t-il ? -Est-il possible de développer des stratégies gagnante ou nulle pour les deux joueurs ?

Élèves participants : Julien, Louis

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Le roi Galton s'inquiète pour sa descendance et la perpétuation de son nom. En effet, depuis des siècles et des siècles, la tradition familiale veut que la famille ait exactement 3 enfants (que ce soient des filles ou des garçons) et que, le jour de la naissance d'un enfant, la mère lance une pièce de monnaie : si elle tombe sur pile, l'enfant ira au monastère (et ne pourra donc pas se marier), si elle tombe sur face, il fondera une famille pour tenter de perpétuer le nom. Sachant que dans ce royaume , une femme prend toujours le nom de son mari, le roi a-t-il des chances de voir son nom être perpétué indéfiniment ? Verra-t-il rapidement s'éteindre sa lignée ?

Élèves participants : Alexandre, Ludovic, Natan, Ulrik

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Le fakir possède une planche à clous : c'est une planche en bois dans laquelle on a planté des clous espacés de 1 unité sur des lignes et des colonnes. On pose un élastique autour des clous. Cela forme des triangles, des polygones... - Quels triangles est-il possible de construire sur la planche du fakir ? - Qu'en est-il des triangles presque rectangles et presque équilatéraux ?

Élèves participants : Martin, Nathan

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Inférieur

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Dans le plan, il y a 10 chasseurs de fantômes et 10 fantômes représentés par les points C1, C2, C3... C10 pour les chasseurs et F1, F2, F3 ... F10 pour les fantômes. Chaque chasseur vise un fantôme avec son canon à protons pour l'éradiquer d'un seul coup de rayon matérialisé par un segment entre le chasseur et le fantôme. Les chasseurs provoqueront chaque fantôme en des duels en formant 10 segments entre un chasseur et un fantôme. Comme nous le savons tous, il est très dangereux de faire se croiser deux rayons à protons. Comment les chasseurs peuvent-ils s'y prendre pour éradiquer tous les fantômes sans que les rayons ne se croisent ? Est-ce toujours possible ?

Élèves participants : Manon, Pauline, Ulrik-Junior, Valentin

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Dans un coin de l’univers, les habitants possèdent seulement trois lettres a, b et e. Ils souhaitent créer quatre dictionnaires inventoriant tous les mots possibles qu’ils peuvent former. Malheureusement ils ont 1. pour le premier dictionnaire, 6 contraintes dans la formations des mots : — ae = ea = a ; — be = eb = b ; — ee = e; — bb = e; — aaaa = e et — abab = e. 2. et pour le deuxième, les 6 contraintes suivantes : ` — ae = ea = a ; — be = eb = b ; — ee = e; — aaaaaaaa = e; — aaaa = bb et — aba = b. Questions 1. Etape 1 : Déterminez tous les mots possibles de leur premier et deuxième dictionnaire. 2. A la lumière de ce qui précède, inventez des règles précises (le moins de règles possible) de telle sorte que leur (a) Etape 2 : troisième dictionnaire ne contienne que 32 mots différents. Donnez ensuite ces 32 mots. (b) Etape 3 : quatrième dictionnaire ne contienne que 40 mots différents. Donnez ensuite ces 40 mots. 3. Etape 4 : On appelle sous-dictionnaire d’un dictionnaire, tout ensemble de mots dont les mots respectent quelques contraintes (pas toutes) du dictionnaire original et qui est lui-même un dictionnaire. (a) Pour chacun de 4 dictionnaires ci-dessus, déterminez, si possible, tous les sous-dictionnaires composés de 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8 mots. (b) Déterminez tous les sous-dictionnaires possibles du quatrième dictionnaire

Élèves participants : David, Leia, Noé

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On dispose d’un collier compose de 9 perles dont n1 perles doivent être de couleur bleue, n2 de couleur verte et n3 de couleur rouge. Etape 1 : Combien y a-t-il de manières différentes de colorier ce collier dans les 7 cas précis. Etape 2 : Combien y a-t-il de colliers différents dans les différents cas étudiés précédemment. Etape 3 : Pouvez-vous généraliser les résultats des étapes 1 et 2 pour n1 perles bleues, n2 vertes et n3 rouges ?

Élèves participants : Farhan, Ludovic

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Un quadrillage (figure 1) ou sont initialement donnés ou construits les points (0, 0) et (1, 0). Voici les regles autorisant de tracer une droite ou un cercle dans ce quadrillage : ` Règle 1 : Vous pouvez tracer : — une droite entre deux points déjà atteints, — un cercle dont le centre est un point déjà atteint et qui passe par un point déjà atteint. Voici les règles pour atteindre de nouveaux points à partir de points déjà atteints : Règle 2 : Est considéré atteint, tout nouveau point obtenu par : — intersection entre deux droites autorisées, — intersection entre une droite et un cercle autorisés, — intersection entre deux cercles autorisés. Nous dirons qu’un nombre réel x est atteint si le point (x, 0) ou (0, x) est atteint dans le quadrillage. Questions Etape 1 : (a) Montrez que le point (x, 0) est atteint si et seulement si le point (0, x) l’est sur le quadrillage. (b) Montrez qu’un point (x, y) est atteint sur le quadrillage si et seulement si les nombres x et y le sont sur l’axe horizontal. (c) Montrez que les nombres réels suivants peuvent être atteints : −1 ±2 et ±3. (d) Comment pouvez-vous atteindre 2 + 3 = 5 a partir de 2 et 3 ? (e) Comment pouvez-vous atteindre 5 × (−3) = −15 a partir de 5 et −3 ? Etape 2 : (a) Comment pouvez-vous atteindre 1/2 à partir de 2 ? (b) Comment pouvez-vous atteindre √5 a partir de 5 ? Etape 3 : Peut-on atteindre tous les entiers ? Toutes les fractions ? Toutes les racines carrées ?

Élèves participants : Kenzo, Marion, Walid

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Sylvester Stallone et sa bande doivent mettre en place une stratégie d’ évasion dans une prison ultra sécurisée. Leur stratégie repose sur la connaissance de toutes les configurations possibles de la prison. Ils n’ont au départ que la description de la forme de la prison : — des cages dites principales sont construites de manière à accueillir deux prisonniers ; — les autres cages sont construites autour des principales de telle sorte qu’elles puissent contenir soit un prisonnier et une ou d’autres autres cages déjà construites ; soit des cages déjà construites. Une fois dans la prison, Stallone apprend une autre information capitale ; la capacite de la prison (notée n) càd le nombre maximal de prisonniers que la prison peut accueillir. Questions 1. Etape 1 : Si n = 2, 3, 4, 5 ; quel est le nombre de configurations possibles de la prison ? 2. Etape 2 : Et pour un n quelconque, pouvez-vous déterminer une formule générale ?

Élèves participants : Angelina, Anne-Laure, Eve

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Supérieur

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Un chasseur poursuit un renard. Ce dernier se promène dans son terrier qui comporte plusieurs trous. ⋆ Chaque jour, le renard se déplace dans un trou adjacent. ⋆ Chaque nuit, le chasseur vérifie si le renard se situe dans un trou. ⋆ Le chasseur peut-il suivre une stratégie pour être sûr de tomber nez à nez avec le renard ? Si oui, combien de nuits devra-t-il attendre dans le pire des cas ? ⋆ Qu’en est-il si le terrier comporte un nombre différent de trous (toujours arrangés en ligne) ? ⋆ Et si les trous sont arrangés différemment (ex : en cercle) ?

Élèves participants : Aurélien, Gauthier, Malik, Sarah

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Élèves participants : Alessandro, Emma, Julien, Sarah

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Élèves participants : Kawtar, Larbi, Mohamed, Samaël

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Supérieur

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Lors d'un voyage dans l'espace, quatres astronautes (Agathe, Bernard, Céline et Didier) découvrent une machine à échanger les cerveaux sur une base extraterrestre. Ils décident de l'étudier de plus près. Agathe a toujours rêvé d'avoir le corps de Didier, Bernard celui de Céline, Céline celui d'Agathe et Didier celui de Bernard. • Est-il possible d'obtenir cette configuration en utilisant la machine ? • Si oui, peut-on obtenir toutes les configurations possibles ? • Si non, quelles sont les configurations que l'on peut effectivement obtenir ? • Que se passe-t-il lorsqu'on considère un nombre n de corps et de cerveaux à échanger ?

Élèves participants : Eleonore, Kenzy, Lina, Louise

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Supérieur

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Steve désire planter des arbres dans son jardin. Cependant, son petit golem Marcel, chargé de planter les arbres, est incapable de placer plus d'un arbre par rangées. Combien d'arbres Marcel pourra-t-il planter au maximum ?

Élèves participants : Constance, Loïc, Ludovic, Pauline, Sam

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Supérieur

Résumé
Dans une grille 5 × 5, on dispose 25 tuiles de forme carrée ayant une face noire et une face orange. Les tuiles sont disposées avec la face noire vers le haut. Le but du jeu est de transformer la grille noire en une grille orange. La seule règle est la suivante : lorsqu’on retourne une tuile, si elles existent, les tuiles situées au nord, à l’est, au sud et à l’ouest de cette tuile se trouvent retournées aussi. ⋆ Peut-on gagner ce jeu ? ⋆ Que se passe-t-il si on change les dimensions du carré, si on regarde un rectangle ou si on change la configuration initiale ?

Élèves participants : Haytham

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Inférieur

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Un chasseur poursuit un renard. Ce dernier se promène dans son terrier qui comporte plusieurs trous arrangés en ligne. Chaque jour, le renard se déplace dans un trou adjacent. Chaque nuit, le chasseur vérifie si le renard se situe dans un trou. 1) Le chasseur peut-il suivre une stratégie pour être sûr de tomber nez à nez avec le renard ? Si oui, combien de nuits devra-t-il attendre dans le pire des cas ? 2) Qu'en est-il si le terrier comporte un nombre différent de trous (toujours arrangés en ligne) ? 3) Et si les trous sont arrangés différemment (par exemple, en cercle) ?

Élèves participants : Emilie, Emilie, Jade, Kai, Noa

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Supérieur

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On considère les droites dans Z_5. 1) Pour quelles valeurs de a, b, c, d ces droites sont-elles confondues ? Sécantes ? Parallèles ? 2) Les conditions sont-elles les mêmes dans Z_6 ? 3) Pour quels , est-ce que les droites se "comportent bien" ? 4) Peut-on se servir de ce que l'on a appris pour créer un jeu de Dobble ?

Élèves participants : Justin, Ulysse

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Supérieur

Résumé
Pedro s'amuse à sommer des 1 de la façon suivante : 1+(1/1), 1+1/(1+(1/1)), ... Il obtient alors 2, 3/2, 5/3, /... et se demande quel nombre il obtient s'il continue à sommer les 1 de cette façon à l'infini. 1) Trouver le nombre recherché par Pedro 2) Est-ce que tout nombre réel peut s'écrire sous la forme a_0+1/(a_1+1/(a_2+1/(........(a_{n-1}+1/a_n)))) où a_0 est un entier et a_1, ..., a_n sont des naturels non nuls ?

Élèves participants : Clémenté, Elias, Michel, Robin

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Supérieur

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Jacky regarde tranquillement un match de foot en direct à la télévision, lorsque sa femme lui demande d'aller acheter du lait. Disposant d'un décodeur dernière génération, il décide de mettre son émission sur pause afin d'aller faire la course. Il revient après 10 minutes et décide de reprendre le match en vitesse "X 2" afin de rattraper le direct. Après combien de temps Jacky aura-t-il rattrapé le direct ? Si Jacky a n minutes de retard sur le direct, qu'il reprend en vitesse "X v" avec v>1, combien de temps mettra-t-il pour rattraper le direct ?

Élèves participants : Dorian, Nathan, Théo, Valentin

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Supérieur

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Les carrés magique sont bien connus. Un carré anti-magique n’est constitué que de 0, 1 et −1, mais doit avoir toutes ses sommes de lignes et colonnes différentes. Peut-on trouver des carrés anti-magiques de toutes tailles ?

Élèves participants : Dalex, David, Maxime, Noah

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Résumé
A Poudlard, il existe un train magique contenant un nombre infini de places numérotées comme suit : 1, 2, ... 499, 500, ... Un elfe a la responsabilité de placer les passagers dans le train. Vous souhaitez l'aider dans les situations suivantes : - Arrivé à Manchester, le train contient 1704 passagers. Trois sorciers souhaitent monter dans le train - Au quai 9 3/4, le train affiche complet. Un moldu souhaite monter dans le train. - A Pré-au-lard, le train contient 42 passagers. Un nombre infini de sorciers souhaite rentrer - A Poudlard, le train est complet. Un nombre infini d'apprenti sorciers souhaitent monter - A l'occasion de la coupe du monde de Quidditch, une infinité de trains contenant chacun une infinité de sorciers doit prendre une correspondance. Notre fidèle elfe parviendra-t-il à attribuer un place à tout le monde ?

Élèves participants : Lydia, Petros, Soline

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Supérieur

Résumé
Un riche prince est assassiné dans son château dans lequel il avait invité 8 prétendantes (nommées ici de A à H par facilité). Lorsqu'elles sont interrogées, chacune d'entre elles, comme alibi, donne la liste des filles qu'elle a croisé lors de son passage au château. De plus, chacune affirme n'y avoir été qu'une seule fois (aucune d'entre elles n'est partie puis revenue) 1) Etant donné la liste des alibis, trouver un moyen efficace de représenter "qui a croisé qui" le jour du meurtre 2) Si on note "X -> Y" le fait que X a vu Y, et qu'on sati que B, D -> A, , est-il possible que ni B et D, ni A et C ne se soient croisés ? Pourquoi ? 3) On sait que A -> B -> C -> D -> E -> F -> A, est-il possible que A -> C -> E -> A ? Pourquoi ? 4) Peut-on déterminer qui est la coupable ? Si oui, qui est-ce ?

Élèves participants : Bassma, Fanny, Judith, Soline

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Inférieur

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Un carreleur dispose de carrelages de longueur 2 et de largeur 1. Il doit carreler une pièce de 7 sur 7 et souhaite savoir s'il devra scier un carrelage ou non. Pouvez-vous l'aider à trouver une solution à son problème ? Que se passe-t-il si on change les dimensions, voire la forme de la pièce ?

Élèves participants : Jood, Yohan

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On considère une balance formée de 3 plateaux, notés B1, B2 et B3, comme représenté à la Fig.1. Supposons que nous ayons n1 masses de 0.25kg, n2 masses de 0.5kg et n3 masses de 1 kg où n1, n2 et n3 sont des entiers naturels. Questions Étape 1 Pour n2 = 0 et n1 = 0, peut-on disposer les n1 masses de sorte à assurer l’équilibre parfait ? Étape 2 (a) Pour n1, n2 et n3 génériques, quelles sont les conditions pour que les trois plateaux soient en équilibre ? (b) Quels sont les triplets (n1, n2, n3) pour lesquels les trois plateaux sont en équilibre et ne contiennent, chacun, qu’un seul type de masses? Étape 3 Pour n1, n2 et n3 génériques, quelles sont les conditions pour que le plateau B1 soit en équilibre avec les deux autres plateaux, B2 et B3 sans toutefois imposer que ces derniers soient en équilibre ?

Élèves participants : Noah, Vic, Vincent

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Résumé
Des basketteurs sont disposés de manière régulière en cercle. Chaque basketteur tient dans ses mains une balle. Lorsque le coup de sifflet résonne, ils lancent simultanément leur balle à l’un des autres joueurs. Les basketteurs sont très doués et lancent tous la balle avec la même vitesse (supposée constante au cours du temps) et à la même hauteur (supposée également constante au cours du temps) par rapport au sol. De combien de manières peuvent-ils lancer les balles de sorte que, après le lancer, chaque joueur ait à nouveau une (et une seule) balle dans sa main? Questions 1. Considérez dans un premier temps le cas de 2, 3 et 4 joueurs. 2. Généraliser ensuite au cas de n ∈ N joueurs.

Élèves participants : Pierre-Louis, Timothee, Valentin

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Un pavage d’un domaine par des dominos est une disposition des dominos recouvrant l’entièreté du domaine sans que les dominos ne se chevauchent. Nous considérons des dominos de dimensions 1 × 2. Questions Étape 1 De combien de manières distinctes peut-on paver un rectangle de dimensions 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4 et 3 × 3 ? Étape 2 (a) En procédant par récurrence, montrer qu’il sera toujours possible de paver un rectangle de dimensions nx2, où n est un entier naturel non nul. (b) Soit Zn le nombre de pavages distincts d’un rectangle de dimensions nx2. Montrer que Zn satisfaît une relation de récurrence linéaire du type Zn = a Zn-1 + b Zn-2 où a et b sont des constantes à déterminer. (c) Sur base de cette relation de récurrence, déduisez-en les valeurs prises par Z3, Z4 et Z5. (d) Résoudre cette relation de récurrence pour obtenir une formule explicite pour Zn. (e) Montrer que lim quand n→+∞ de (log Zn)/n est égale à f,t un nombre réel positif. (f) Soit Zsym le nombre de pavages symétriques sous rotation de 180 degrés. Que vaut Zn^(Sym) ? Étape 3 Nous considérons désormais des rectangles de dimensions 3xn, où n est un naturel non nul. (a) Pour quelles valeurs de n peut-on paver ce domaine? Justifier votre réponse. (b) Si le domaine est pavable, quel est le nombre de configurations (distinctes) ?

Élèves participants : Adèle, Aliocha, Gabriel, Shyrel

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Supérieur

Résumé
Soit Vn l’ensemble des tableaux de nombres formés de n colonnes et de n lignes, où n est un nombre entier naturel non nul, tels que — les entrées vaillent 0, -1 ou +1 ; — la somme des entrées de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1 ; — les entrées +1 et -1 alternent en chaque ligne et chaque colonne. Questions Étape 1 Déterminer tous les éléments de V1, V2 et V3. Étape 2 Pour n général, montrer que les premières et dernières lignes et colonnes de chaque élément de Vn ne peut pas contenir d’entrée -1. (a) Montrer que pour tout n entier naturel plus grand ou égal à 2, | Vn| >= |Vn-1| + | Vn-2| où |Vn| désigne la cardinalité de l’ensemble |Vn|, c’est-à-dire le nombre d’éléments de cet ensemble. (b) Pour n général, combien y a-t-il d’éléments de Vn qui qui ne contiennent aucune entrée négative -1 ? Comment pouvez-vous interpréter ces éléments ? (c) Quel est le nombre maximal d’entrées négatives que peut contenir un élément de Vn ?

Élèves participants : Arthur, Francois, Timour, Yanis

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On considère une grille carrée de dimension nxn, formée de n² cases. Un certain nombre de murs sont disposés entre les cases. Un robot se trouve initialement sur une des cases. Le robot peut se déplacer horizontalement et verticalement et s’arrête si et seulement si il rencontre un mur. Questions Étape 1 (a) Pour une grille carrée de dimensions 2x2, quel est le nombre minimal de murs à disposer pour que le robot puisse atteindre toutes les cases, indépendamment de sa position initiale ? Nous supposerons que le pourtour du domaine agit comme un mur. Et pour une grille carrée de dimensions 3 × 3 ? (b) Qu’advient-il si les bords du domaine ne sont pas des murs, i.e. en présence de conditions aux bords périodiques ? Étape 2 Nous considérons dès à présent des conditions aux bords périodiques (a) Pour une grille carrée de dimensions nxn, comment disposer les murs pour que le robot puisse atteindre toutes les cases du plateau, indépendamment de sa position initiale ? Justifiez votre réponse. (b) Cette configuration vous semble-t-elle optimale, ou pouvez-vous en trouver une autre qui requiert un nombre moins élevé de murs? Étape 3 Nous supposons à présent que deux robots se déplacent sur la grille. Chaque case peut être occupée au maximum par un robot et chaque robot agit comme un mur. (a) Quel est le nombre minimal de murs supplémentaires à disposer pour que les deux robots puissent atteindre toutes les cases d’une grille carrée de dimensions 2 × 2 et 3 × 3 ? Considérer séparément le cas de conditions aux bords fixes et périodiques. (b) Et dans le cas d’une grille carrée de dimensions n × n ?

Élèves participants : Émelyne, Jean, Nathan, Theo

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Supérieur

Résumé

Élèves participants : Esteban, Hippolyte, Mathieu

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Supérieur

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Élèves participants : Clément, Quentin

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Supérieur

Résumé

Élèves participants : Jeanne, Julia, Marion, Selma

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Supérieur

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Élèves participants : Antoine, Robin, Victor

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Résumé

Élèves participants : Adrien, Nicolas, Noelia, Stanislas

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Inférieur

Résumé

Élèves participants : Anna, Jana, Lilly

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Élèves participants : Betty, Julie, Sophie

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Supérieur

Résumé

Élèves participants : Alexandre, Léonard

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Supérieur

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Élèves participants : Adrien, Alexis, Isaac

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Inférieur

Résumé
Le jeu de Dobble utilise un jeu de 55 cartes sur chacune desquelles se trouvent huit symboles différents. Deux cartes partagent toujours un, et un seul, symbole. Question : comment créer un tel jeu de cartes ?

Élèves participants : Lola, Luca, Lynn, Mélissa

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Inférieur

Résumé
Dans un célèbre jeu télévisé, deux joueurs se trouvent devant 21 bâtonnets et chaque joueur choisit de prendre à tour de rôle un, deux ou trois bâtonnets. Le joueur qui prend le dernier bâtonnet a perdu. Est-il possible de gagner à tous les coups ? Existe-t-il une stratégie gagnante ? Est-ce que cela change quelque chose de commencer à jouer en premier ou en second ? Variantes : Si on change le nombre de bâtonnets, cela change-t-il quelque chose ? Peut-on encore gagner à tous les coups ? Faut-il changer de stratégie ?

Élèves participants : Kyara, Téa, Victoria

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Inférieur

Résumé
On considère le jeu suivant pour 2 joueurs : N jetons sont alignés sur une table. À tour de rôle, les joueurs peuvent retirer soit un jeton, soit deux jetons adjacents. Le joueur qui ne peut plus jouer, c'est-à-dire lorsque tous les jetons ont disparu, perd la partie. Analysez ce jeu : existe-t-il une stratégie gagnante ? Variantes possibles : que se passe-t-il si les jetons forment un cercle ? si le joueur qui retire le dernier jeton perd la partie ?

Élèves participants : Abel, Ada, Benoît, Fédor, Joris

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Inférieur

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Élèves participants : Eliott, Martim, Victor

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Inférieur

Résumé
Comment placer le maximum de points sur une grille sans que trois d’entre eux ne soient alignés ?

Élèves participants : Céleste, Léonor

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Inférieur

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Dans un avion, chaque passager a une place qui lui est attribuée. Le premier passager décide de s’asseoir au hasard plutôt que de prendre obligatoirement sa place. Les passagers suivants rentrent un à un. Si leur place est libre, il s’asseyent à leur place, sinon ils choisissent une autre place au hasard. Quelle est la probabilité que le dernier passager soit assis à sa place ?

Élèves participants : David, Livio, Yanice

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Inférieur

Résumé
Est-il vrai que dans une réception deux des invités connaissent toujours exactement le même nombre de personnes parmi les présents ?

Élèves participants : Alexia, Daphné, Eleonore, Rebecca

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Inférieur

Résumé
Le roi Galton s’inquiète pour sa descendance et la perpétuation de son nom. En effet, depuis des siècles et des siècles, la tradition familiale veut que la famille ait exactement 3 enfants (que ce soient des filles ou des garçons, peu importe) et que, le jour de la naissance d’un enfant, la mère lance une pièce de monnaie : si elle tombe sur pile, l’enfant ira au monastère (et ne pourra donc pas se marier), si elle tombe sur face, il fondera une famille pour tenter de perpétuer le nom. Sachant que dans ce royaume, une femme prend toujours le nom de son mari, le roi a-t-il des chances de voir son nom être perpétué indéfiniment ? Verra-t-il rapidement s’éteindre sa lignée ? Et si le roi interdit à ses enfants de rentrer au monastère, que se passe-t-il ? Dans le royaume voisin de celui du roi Galton, le seigneur Watson se fait aussi du souci pour la perpétuation de son nom de famille. Sa tradition familiale est légèrement différente de celle de son voisin, puisque lors de la naissance d’un enfant, les deux parents lancent une pièce de monnaie : si les deux pièces tombent sur pile, l’enfant ira au monastère, sinon il devra fonder sa famille. Sachant que là encore, une femme prend toujours le nom de son mari, le sire Watson a-t-il plus de chances que son voisin de voir son nom perdurer indéfiniment ou, au contraire, de s’éteindre rapidement ? Que se passe-t-il si l’on inverse les règles du jeu (à savoir que si les deux pièces tombent sur pile, l’enfant doit fonder une famille, et sinon il va au monastère) ? Et si l’on utilise plus de pièces ?

Élèves participants : Eliott, Emile, Louis, Raphaël

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Inférieur

Résumé
Considérons un rectangle et découpons-le en plusieurs morceaux comme dans la figure ci-dessous. En agençant les morceaux pour former le "même" triangle (comme dans la figure ci-dessous), on constate que le triangle possède un carré manquant. Comment peut-on expliquer ce phénomène ?

Élèves participants : Eleanor, Nam, Stepan

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Inférieur

Résumé
On dessine un polygone quelconque sur une feuille (concave, convexe, peu importe). Comment peut-on plier la feuille de façon à découper le polygone dessiné avec un seul coup de ciseau ?

Élèves participants : David, Djelany, Noé

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Inférieur

Résumé
Des soldats se placent en cercle. Un cruel Lieutenant en abat un sur deux l’un après l’autre. Qui sera le dernier soldat survivant ?

Élèves participants : Allegra, Aristide, Ben, Filippa

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Supérieur

Résumé
Trois fusée sont disposées sur les sommets d’un triangle équilatéral de 2km de côté. La première pointe vers la deuxième, la deuxième vers la troisième, et la troisième vers la première. En une seconde les trois fusées avancent d’un kilomètre le long du triangle vers leur cible. Puis elles se rendent compte que leur cible s’est déplacée et elles réajustent leur tir : en une demi-seconde elles parcourent 0,5km dans la nouvelle direction. Ensuite elles réajustent encore leur direction et se déplacent d’un quart de kilomètre en un quart de seconde, et ainsi de suite. À quoi ressemble la trajectoire des fusées ? Que se passe-t-il au bout de deux secondes ? Que se passe-t-il si le triangle de départ n’est pas équilatéral ? Et si on généralise à d’autres polygones ?

Élèves participants : Cécile, Colin, Marceau, Rosalie

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Inférieur

Résumé
L’ambassadeur de Mathlandia a invité un grand groupe de personnes pour un banquet. Les personnes sont assises autour d’une table ronde et l’ambassadeur propose de trinquer. Mais il faut respecter les règles de l’ambassade : — On ne peut trinquer qu’avec une seule personne à la fois — À la fin il faut avoir trinqué avec tout le monde — On trinque simultanément, par “tours” — Chacun reste assis à sa place et on ne peut pas croiser les bras — On trinque au-dessus de la table Comment trinquer efficacement ? Combien faut-il de tours au minimum pour terminer ? Quelle est la procédure optimale pour y parvenir ?

Élèves participants : Christos, Gabriel, Noah, Victor

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Inférieur

Résumé
La tribu Amérindienne des Yukis ne comptaient pas comme nous. Au lieu de compter sur leurs doigts, les Yukis comptaient entre leur doigts. Ils ne pouvaient donc compter que jusqu’à huit. Développer une arithmétique yuki.

Élèves participants : Carla, Laya

Niveau
Supérieur

Résumé
Trouver une bille cachée sous un seul gobelet (parmi N) sachant que chaque fois où celle ci n'a pas été trouvée par le joueur, le modérateur déplace le gobelet avec la bille exactement d'une position.

Élèves participants : Ben, Charleen