Ateliers de l'année en cours

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Une droite d de R2 est déterminée par un point (x0, y0) et un vecteur directeur (α, β) : d = {(x0, y0) + k(α, β) | k ∈ R}. Rempalçons R par Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, muni des opérations : 3 +5 4 = 2 et 2 ×5 3 = 1 Une droite est toujours déterminée par (x0, y0), (α, β) ∈ Z25 : d = {(x0, y0) +5 k ×5 (α, β) | k ∈ Z}. ▶ Comment se comportent ces droites? Quand deux droites sont-elles sécantes? Parallèles? Confondues? ▶ Qu’arrive-t-il si on remplace Z5 par Z6 ? Par Zn ? ▶ Comment appliquer cette géométrie au jeu Dooble?

Élèves participants : Corentin, Elouan

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Couper le plan avec n droites permet de déterminer au maximum 1 + n(n+1)/2 régions. Quels sont les nombres de régions possibles? Par exemple,avec 5 droites, on peut définir maximum 1 + 5(5+1)/2 = 16 régions. Peut-on en définir 11? 7? 13?

Élèves participants : Aicha, Jellisa-Tara, Romane

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A partir d’un triangle quelconque T, on trace : ▶ 3 triangles équilatéraux basés en les cotés de T ; ▶ le triangle T′ dont les sommets sont les centres ; ▶ les segments reliant les sommets de T avec le sommet de T′ opposé. On observe (mais peut-on le démontrer ?) : ▶ T’ est équilatéral ; ▶ les 3 segments sont concourants. Question : quid si on remplace les triangles par des carrés? des pentagones régliers, ...?

Élèves participants : Arnaud, Cyprien, Lucas, Max, Tom

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Un carré valué est un carré dont les sommets sont pourvus d’une valeur positive. Le carré induit a pour sommets les milieux des cotés du carré initial et pour valeurs les différences (positives) des extrémités. En itérant ce procédé, arrive-t-on toujours au carré nul? En combien d’étapes? Quid des autres polygones?

Élèves participants : Manuel, Nathaniel, Samuel, Vicky

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Ce sujet propose un exercice de mentalisme collectif dont voici le principe : ▶ X élèves reçoivent un nombre entier positif écrit sur le front ; ils ne le voient pas mais voient ceux des autres. ▶ Le professeur écrit une liste de nombres entiers positifs au tableau, cette liste contenant la somme de tous les nombres écrits sur les fronts. ▶ A tour de rôle, chaque élève doit répondre si oui ou non, il sait quelle est la somme correcte. Si la liste écrite est de taille 1, le premier élève répond bien sûr "oui". Qu’en est-il pour une liste plus longue?

Élèves participants : Emeline, Livine, Meriam

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Le système de numération orale gumatj, d'une tribu aborigène australienne est basé sur la base 5 au lieu de la base 10. • Comment fonctionne notre système décimal actuel ? Pouvez-vous essayer de convertir quelques nombres simples (comme 10 ou 20) en base 5 ? • Quelles seraient les nouvelles tables d’addition, de soustraction, de multiplication et de division en base 5 ? • Pouvez-vous concevoir un abaque ou des règles afin d’enseigner cette méthode de calcul en base 5 ? • Comment les techniques de calcul changeraient-elles s’ils utilisaient d'autres bases comme la base 7 ou 12 ? • En quoi l'utilisation d'une base différente pourrait-elle changer la manière dont nous percevons certains concepts mathématiques modernes (comme les fractions ou les logarithmes)?

Élèves participants : Joséphine, Lola, Maylisse

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Un explorateur commence son voyage au pôle Sud, suit un méridien jusqu'à l'équateur, tourne à angle droit, marche le long de l'équateur jusqu'à un autre méridien, puis retourne au pôle Sud. Ce parcours forme une figure géométrique intéressante sur la sphère terrestre. • Pouvez-vous décrire le chemin que l'explorateur a suivi en termes simples ? Où se trouve-t-il à chaque étape de son voyage ? • Sur une carte du monde (2D et 3D), tracez le parcours de l'explorateur. Quelle forme obtenez-vous ? Discutez des différences ou ressemblances. • Comment exprimer cela mathématiquement ? Comment représenteriez-vous l'ensemble du parcours en termes d'angles, de longitudes et de latitudes ? Quels sont les calculs nécessaires pour déterminer la longueur totale du trajet sur la sphère ? • Supposons maintenant que l'explorateur, au lieu de tourner à 90 degrés à l'équateur, tourne à un angle différent (par exemple, 60 degrés ou 120 degrés). Comment cela aurait-il modifié son trajet ? Quelle nouvelle forme géométrique aurait été créée sur la surface de la Terre ? Cette forme change-t-elle avec l'angle ? Pourquoi ? • Comment le parcours serait-il affecté si la Terre n'était pas une sphère parfaite mais avait une forme légèrement ellipsoïdale (comme dans la réalité) ?

Élèves participants : Mathis, Maxim, Maxime

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Sur une île isolée, vous avez une population de moutons et une population de loups. Les moutons se reproduisent rapidement, et leur taux de reproduction est proportionnel à leur nombre. Cependant, les loups chassent les moutons pour se nourrir, et la reproduction des loups dépend de leur satiété : plus les loups sont bien nourris, plus leur population augmente. À mesure que les populations de moutons et de loups évoluent, elles interagissent de manière complexe, influençant l'équilibre de l'écosystème de l'île. • Si la population de moutons augmente, que se passe-t-il avec les loups ? Et inversement ? • Pouvez-vous représenter sur un graphique comment les populations de moutons et de loups évoluent avec le temps ? • Pouvez-vous pour modéliser ce système ? • Comment ces résultats pourraient-ils changer si vous introduisez d'autres facteurs, tels que des variations climatiques qui affectent la disponibilité de la nourriture, ou des maladies qui touchent une des espèces ? • Que se passe-t-il si vous introduisez une troisième espèce, comme des aigles qui chassent les loups ? Comment ce nouvel acteur modifie-t-il l'équilibre de l'écosystème ?

Élèves participants : Basile, Constantin, Paul

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Vous êtes chargés de planifier les itinéraires des ambulances dans une grande ville après une catastrophe naturelle. Certaines routes sont bloquées et les infrastructures peuvent être endommagées. Vous devez trouver le moyen le plus rapide pour atteindre les zones les plus touchées en un temps t donné. On suppose que vous vous déplacez à vitesse constante. • Quels sont les endroits atteignables si vous pouvez prendre n’importe quelle direction (il n’y a pas de route ni d’obstacle) ? • Comment traceriez-vous un itinéraire simple pour une ambulance en supposant que toutes les routes sont ouvertes et que les rues forment un quadrillage parfait ? • Comment optimiseriez-vous les itinéraires pour minimiser le temps de trajet, en tenant compte des routes bloquées ? • Pouvez-vous modéliser mathématiquement ce problème pour que les secours puissent réagir en temps réel, en fonction des mises à jour sur l'état des routes et des infrastructures ? • Quel serait l’impact sur votre modèle si les rues sont agencées de manières triangulaires, hexagonales, circulaires ou autre ?

Élèves participants : Ulysse, Wallerand

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